Ecuația 2x² − 3x − 2 = 0 are discriminantul Δ = 25 și soluțiile 2 și −1/2. Calculatorul de mai sus îți arată fiecare pas pe numerele tale, exact cum îl scrii în caiet: coeficienții, Δ, radicalul, formula, simplificarea și verificarea.
Cum se rezolvă, pas cu pas
- Aduci ecuația la forma ax² + bx + c = 0: totul în stânga, zero în dreapta.
- Citești a, b și c, cu semnul lor. La x² − 5x + 6 = 0: a = 1, b = −5, c = 6.
- Calculezi Δ = b² − 4ac. Pune numerele negative în paranteză: (−5)² = 25, nu −25.
- După semnul lui Δ:
- Δ > 0: două soluții, x₁,₂ = (−b ± √Δ) / (2a);
- Δ = 0: o soluție dublă, x = −b / (2a);
- Δ < 0: nicio soluție reală, S = ∅.
- Verifici cu suma și produsul soluțiilor.
De ce rezultatul rămâne exact
În caiet nu scrii x ≈ 0,414, ci x = −1 + √2. De aceea, când a, b și c sunt numere întregi, calculatorul păstrează forma exactă. Scoate factorii de sub radical (√12 = √(2² · 3) = 2√3) și simplifică fracția la factorul comun. Abia după aceea arată și zecimalele, pentru verificare.
Opt ecuații rezolvate
| Ecuația | Δ | Soluțiile |
|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 | 1 | S = {2; 3} |
| 2x² − 3x − 2 = 0 | 25 | S = {−1/2; 2} |
| x² − 6x + 9 = 0 | 0 | S = {3} (dublă) |
| x² + 2x − 1 = 0 | 8 | −1 ± √2 |
| 2x² + 2x − 1 = 0 | 12 | (−1 ± √3)/2 |
| x² + 2x + 5 = 0 | −16 | S = ∅ în ℝ; în ℂ: −1 ± 2i |
| 3x² − 12 = 0 | 144 | S = {−2; 2} |
| x² − 4x = 0 | 16 | S = {0; 4} |
Toate rezultatele din tabel sunt verificate automat, la fiecare modificare a site-ului, cu aceeași formulă pe care o folosește calculatorul.
Ce mai afli din aceiași coeficienți
- Suma și produsul soluțiilor (relațiile lui Viète): x₁ + x₂ = −b/a și x₁ · x₂ = c/a. Le poți calcula înainte de soluții, ca să știi ce trebuie să-ți iasă.
- Forma descompusă: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). La 2x² − 3x − 2 iese 2(x − 2)(x + 1/2).
- Vârful parabolei: V(−b/2a; −Δ/4a). Pentru 2x² − 3x − 2, vârful e V(3/4; −25/8). Când a e pozitiv, el e punctul cel mai de jos al graficului.
Greșeli frecvente la test
- Semnul lui b. La x² − 5x + 6, b e −5. Atunci −b e +5, iar b² e 25.
- Pătratul unui număr negativ fără paranteză. Pe calculatorul de buzunar, −5² dă −25. Scrie (−5)².
- Uiți că 4ac poate fi negativ. Când a și c au semne diferite, −4ac se adună: la 2x² − 3x − 2, Δ = 9 − 4 · 2 · (−2) = 9 + 16.
- Împarți doar o parte. În (−b ± √Δ) / (2a), linia de fracție e sub tot numărătorul. (3 + 5) / 4 = 2, nu 3 + 5/4.
- Scrii o singură soluție când Δ > 0. Ai două: una cu plus, una cu minus.
- Ecuația nu e adusă la zero. La x² = 5x − 6 muți întâi tot în stânga: x² − 5x + 6 = 0.
Când a = 0
Atunci nu mai ai o ecuație de gradul al doilea, ci una de gradul întâi: bx + c = 0, cu soluția x = −c/b. Calculatorul recunoaște cazul și îți spune. La 0x² + 2x − 3 = 0 iese x = 3/2.
Unde o întâlnești
Ecuația ax² + bx + c = 0 intră în programa clasei a VIII-a. Funcția de gradul al doilea și relațiile lui Viète vin în clasa a IX-a, iar rezolvarea în ℂ, pentru Δ < 0, în clasa a X-a. Pentru două ecuații cu două necunoscute ai calculatorul de sisteme. Când soluțiile ies fracții de adunat sau simplificat, folosește calculatorul de fracții.
Întrebări frecvente
Care e formula ecuației de gradul 2?
Pentru ax² + bx + c = 0 calculezi întâi Δ = b² − 4ac, apoi x₁,₂ = (−b ± √Δ) / (2a). La 2x² − 3x − 2 = 0: Δ = 9 + 16 = 25, deci x = (3 ± 5) / 4, adică 2 și −1/2.
Ce fac dacă Δ e negativ?
În mulțimea numerelor reale ecuația nu are soluții: S = ∅. Din clasa a X-a se lucrează și în ℂ, unde √Δ devine imaginar. La x² + 2x + 5 = 0, Δ = −16, √Δ = 4i, iar soluțiile sunt −1 ± 2i.
Ce înseamnă Δ = 0?
Ecuația are o singură soluție, numită dublă: x₁ = x₂ = −b / (2a). La x² − 6x + 9 = 0 ies x₁ = x₂ = 3, pentru că expresia e pătratul perfect (x − 3)².
Cum verific dacă am rezolvat bine?
Cu relațiile lui Viète: suma soluțiilor e −b/a, iar produsul lor e c/a. La x² − 5x + 6 = 0, soluțiile 2 și 3 au suma 5 și produsul 6. Dacă nu ies, ai greșit un semn.
Pot rezolva fără Δ?
Da, când lipsește un termen. La x² − 4x = 0 dai factor comun: x(x − 4) = 0, deci 0 și 4. La 3x² − 12 = 0 împarți la 3: x² = 4, deci ±2. Calculatorul folosește Δ, dar soluțiile sunt aceleași.
Ce e Δ' (delta prim)?
O scurtătură pentru b par: Δ' = (b/2)² − ac și x₁,₂ = (−b/2 ± √Δ') / a. La 2x² + 2x − 1 = 0, Δ' = 1 + 2 = 3, iar soluțiile ies tot (−1 ± √3)/2.
Scris și verificat de echipa socotx. Actualizat la 6 noiembrie 2026. De unde avem cifrele.