Sistemul x + y = 5 și 2x − y = 1 are soluția x = 2, y = 3. Termenii cu y au semne opuse, așa că aduni ecuațiile, y se reduce, iar 3x = 6. Calculatorul face același drum pe numerele tale și îți spune la fiecare pas ce faci și de ce.
Cum completezi câmpurile
Scrie fiecare ecuație în forma ax + by = c: necunoscutele în stânga, numărul în dreapta. Pentru 3x = 12 − 2y muți întâi −2y în stânga: 3x + 2y = 12. Când lipsește o necunoscută, coeficientul ei e 0. Pentru semnul minus ai butonul ± din câmp.
Metoda reducerii, pas cu pas
- Te uiți la coeficienții lui y. Dacă sunt egali, scazi ecuațiile. Dacă sunt opuși, le aduni.
- Altfel, înmulțești ecuațiile cu numere alese ca y să aibă același coeficient. La 3x + 2y = 12 și x − y = −1 înmulțești a doua cu 2: 2x − 2y = −2.
- Aduni sau scazi membru cu membru: 5x = 10, deci x = 2.
- Înlocuiești x în prima ecuație: 6 + 2y = 12, deci y = 3.
- Verifici în a doua ecuație: 2 − 3 = −1 ✓.
Calculatorul alege numerele cele mai mici cu care se poate (cel mai mic multiplu comun al coeficienților lui y), ca în caiet. Dacă una dintre ecuații nu-l are pe y, afli x direct din ea.
Exemple rezolvate
| Sistemul | Ce faci | Soluția |
|---|---|---|
| x + y = 5; 2x − y = 1 | aduni | x = 2, y = 3 |
| 3x + 2y = 12; x − y = −1 | a doua · 2, apoi aduni | x = 2, y = 3 |
| 5x − 2y = 1; 3x + 4y = 11 | prima · 2, apoi aduni | x = 1, y = 2 |
| 2x + 3y = 7; 4x − y = 1 | a doua · 3, apoi aduni | x = 5/7, y = 13/7 |
| 2x = 6; x + 3y = 9 | x din prima | x = 3, y = 2 |
| x + y = 2; 2x + 2y = 5 | determinantul e 0 | fără soluții |
| x + y = 2; 2x + 2y = 4 | ecuații proporționale | o infinitate |
Toate soluțiile din tabel sunt verificate automat, la fiecare modificare a site-ului.
Cum alegi metoda
- Reducerea e cea mai rapidă când coeficienții lui x sau y sunt egali, opuși sau unul îl divide pe celălalt.
- Substituția e mai simplă când o necunoscută are coeficientul 1 sau −1: din x − y = −1 scoți imediat x = y − 1.
- Regula lui Cramer, cu determinanți, vine în clasa a XI-a. Dă aceleași numere, iar calculatorul arată determinantul printre detalii.
Greșeli frecvente
- Înmulțești doar membrul stâng. Dacă înmulțești ecuația cu 2, înmulțești și numărul din dreapta: x − y = −1 devine 2x − 2y = −2.
- Scazi când trebuia să aduni. Coeficienți opuși (+2y și −2y) se reduc prin adunare.
- Semnul la scădere. Când scazi o ecuație, schimbi semnul fiecărui termen al ei, inclusiv al numărului din dreapta.
- Te oprești la x. Problema cere perechea (x; y): mai ai un pas.
- Nu verifici. Înlocuiește perechea în ecuația pe care n-ai folosit-o la final. O greșeală de semn iese imediat la iveală.
Probleme cu text
Multe probleme de clasa a VII-a se rezolvă cu un sistem: „Într-o curte sunt găini și iepuri, în total 10 capete și 28 de picioare.” Notezi g și i: g + i = 10 și 2g + 4i = 28. Calculatorul dă g = 6 și i = 4. Pentru o ecuație cu x², treci la calculatorul pentru ecuația de gradul 2.
Întrebări frecvente
Cum se rezolvă un sistem prin metoda reducerii?
Înmulțești ecuațiile ca o necunoscută să aibă același coeficient, apoi le scazi (sau le aduni, dacă semnele sunt opuse). La x + y = 5 și 2x − y = 1 aduni direct: 3x = 6, deci x = 2, apoi y = 5 − 2 = 3.
Cum se rezolvă prin substituție?
Scoți o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuiești în cealaltă. Din x + y = 5 ai y = 5 − x; în 2x − y = 1 devine 2x − 5 + x = 1, deci 3x = 6 și x = 2. Rezultatul e același ca la reducere.
Când nu are soluții un sistem?
Când ecuațiile se contrazic: x + y = 2 și 2x + 2y = 5. Dacă o înmulțești pe prima cu 2, ai 2x + 2y = 4, care nu poate fi și 5. Pe grafic, cele două drepte sunt paralele.
Când are o infinitate de soluții?
Când a doua ecuație e prima înmulțită cu același număr: x + y = 2 și 2x + 2y = 4. Orice pereche cu suma 2 merge, de exemplu (0; 2), (1; 1) sau (5; −3).
De ce ies soluțiile fracții?
Pentru că nu toate sistemele au soluții întregi. La 2x + 3y = 7 și 4x − y = 1 iese x = 5/7 și y = 13/7. Verificare: 10/7 + 39/7 = 49/7 = 7.
Ce e determinantul sistemului?
Numărul a₁b₂ − a₂b₁. Dacă e diferit de 0, sistemul are o singură soluție. Cu el lucrează regula lui Cramer, din clasa a XI-a: x = (c₁b₂ − c₂b₁) / (a₁b₂ − a₂b₁).
Scris și verificat de echipa socotx. Actualizat la 6 noiembrie 2026. De unde avem cifrele.